一元二次方程有哪些解法?解法怎么用?
解一元二次方程可以用公式法。x=-b加减根号下b的平方-4ac/2a亲,给个采纳吧
如何解一元二次方程?
答:可以用公式法,方程为ax平方+bx+c=0x=-b加减根号下b平方-4ac/2a
如何解一元二次方程、解析式
1.分解因式法 (可解部分一元二次方程)因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完。
如
1.解方程:x^2+2x+1=0
解:利用完全平方公式因式解得:(x+1﹚^2=0
解得:x1= x2=-1
2.解方程x(x+1)-3(x+1)=0
解:利用提公因式法解得:(x-3)(x+1)=0
即 x-3=0 或 x+1=0
∴ x1=3,x2=-1
3.解方程x^2-4=0
解:(x+2)(x-2)=0
x+2=0或x-2=0
∴ x1=-2,x2= 2
十字相乘法公式:
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例:
1. ab+b^2+a-b- 2
=ab+a+b^2-b-2
=a(b+1)+(b-2)(b+1)
=(b+1)(a+b-2)
2.公式法 (可解全部一元二次方程)
求根公式
首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根(初中)
2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
来求得方程的根
3.配方法 (可解全部一元二次方程)
如:解方程:x^2+2x-3=0
解:把常数项移项得:x^2+2x=3
等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4
因式分解得:(x+1)^2=4
解得:x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
4.开方法 (可解部分一元二次方程)
如:x^2-24=1
解:x^2=25
x=±5
∴x1=5 x2=-5
5.均值代换法 (可解部分一元二次方程)
ax^2+bx+c=0
同时除以a,得到x^2+bx/a+c/a=0
设x1=-b/(2a)+m,x2=-b/(2a)-m (m≥0)
根据x1*x2=c/a
求得m。
再求得x1, x2。
如:x^2-70x+825=0
均值为35,设x1=35+m,x2=35-m (m≥0)
x1*x2=825
所以m=20
所以x1=55, x2=15。
一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到)
一般式:ax^2+bx+c=0的两个根x1和x2关系:
x1+x2= -b/a
x1*x2=c/a
如何选择最简单的解法 1.看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法)
2.看是否可以直接开方解
3.使用公式法求解
4.最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。 如果要参加竞赛,可按如下顺序:
1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法
怎么解一元二次方程组
形如ax²+bx+c=0的方程一般有因式分解法、平方法、公式法等方法求解。具体参见教程。此处仅介绍公式法,即X=[-b±√(b²-4ac)]/2a。一元二次方程怎么解详细过程
首先当a不等于0时方程:ax^2+bx+c=0才是一元二次方程。
1、公式法:Δ=b²-4ac,Δ<0时方程无解,Δ≥0时。
x=【-b±根号下(b²-4ac)】÷2a(Δ=0时x只有一个)
2、配方法:可将方程化为[x-(-b/2a)]²=(b²-4ac)/4a²
可解出:x=【-b±根号下(b²-4ac)】÷2a(公式法就是由此得出的)
3、直接开平方法与配方法相似。
4、因式分解法:核心当然是因式分解了看一下这个方程。
(Ax+C)(Bx+D)=0,展开得ABx²+(AD+BC)+CD=0与一元二次方程ax^2+bx+c=0对比得a=AB,b=AD+BC,c=CD。所谓因式分解也只不过是找到A,B,C,D这四个数而已。
扩展资料:
一元二次方程成立必须同时满足三个条件:
①是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程)。
②只含有一个未知数;
③未知数项的最高次数是2。
开平方法:
(1)形如 或 的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程 [5] 。
(2)如果方程化成 的形式,那么可得 。
(3)如果方程能化成 的形式,那么 ,进而得出方程的根。
(4)注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
参考资料来源:
一元二次方程怎么解
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础,应引起同学们的重视。一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2= 直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 �6�12 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
一元二次方程如何解
方法 1.配方法(可解全部一元二次方程)2.公式法(可解全部一元二次方程)
3.因式分解法(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
4.开方法(可解全部一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的,不过要一般形式)
如何选择最简单的解法:
1、看是否可以直接开方解;
2、看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑公式法,最后考虑十字相乘法);
3、使用公式法求解;
4、除非题目要求,最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是解题步骤太麻烦)。
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础,应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax^2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m±√n
例1.解方程(1)(3x+1)^2=7 (2)9x^2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)^2=7
∴(3x+1)^2=7
∴3x+1=±√7(注意不要丢解)
∴x= ...
∴原方程的解为x1=...,x2= ...
(2)解: 9x^2-24x+16=11
∴(3x-4)^2=11
∴3x-4=±√11
∴x= ...
∴原方程的解为x1=...,x2= ...
2.配方法:用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
先将固定数c移到方程右边:ax^2+bx=-c
将二次项系数化为1:x^2+(b/a)x=-c/a
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x^2+(b/a)x+0.5(b/a)^2=-c/a+0.5(b/a)^2
方程左边成为一个完全平方式:[x+0.5(b/a)]^2=-c/a+0.5(b/a)^2
当b2-4ac≥0时,x+ =± √[-c/a+0.5(b/a)^2 ]-0.5(b/a)
∴x=...(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
将二次项系数化为1:x^2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x^2-x+( )^2= +( )^2
配方:(x-)^2=
直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
当b^2-4ac>0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a(两个不相等的实数根)
当b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a(两个相等的实数根)
当b^2-4ac<0时,求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a(两个共轭的虚数根)(初中理解为无实数根)
例3.用公式法解方程 2x^2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x^2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0 (选学) (4)x^2-4x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x^2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x^2-4x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
(1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0 (2)x^2+2x-3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x^2+2x-3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x^2-2 x=-
x^2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )^2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。 (选学)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x^2+px+q=0
解:x^2+px+q=0可变形为
x^2+px=-q (常数项移到方程右边)
x^2+px+( )2=-q+( )2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p^2-4q≥0时,≥0(必须对p^2-4q进行分类讨论)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p^2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求,必要时进行分类讨论。
如何巧解一元二次方程
一元二次方程的解法四种:
1.直接开平方法:⑴形如x²=p或者(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法求根;⑵如果方程能化成x²=p的形式,那么可得x=±√p;⑶如果方程能化成(nx+m)²=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±√p,进而得出方程的根;⑷注意:等号左边是一个数的平方形式而右边是一个常数;
2.配方法:将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式,再利用直接开平方法求根.用配方法解一元二次方程的步骤 ⑴把原方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0);⑵方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;⑶方程两边同时加上一次项系数一半的平方;⑷把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑸如果右边是非负数,则方程有两个实数根,用直接开平方法求解;如果右边是一个负数,则方程无实数根;
3.因式分解法一般步骤:⑴移项,使方程右边为零;⑵将方程的左边转化为两个一元一次多项式的积;⑶令每个因式分别为零;⑷解两个一元一次方程;
举例:x²-5x+6=0因式分解,得(x-2)(x-3)=0即x-2=0或x-3=0∴x1=2,x2=3;
4.公式法求根公式:求根公式
5.说明:一元二次方程有两个实数根或者没有实数根,绝对不存在一个实数根;如果方程有实数根,配方法和公式法都能解;直接开平方法要求方程必须是左平方右常数形式;因式分解法要求左边必须能分解因式为A•B=0即两个因式相乘为0,因式分解法的理论依据为:“如果两个因式的乘积为零,那么至少有一个因式为零”。