怎样求矩阵的秩?
A=(aij)m×n
矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数,通常表示为r(A),rk(A)或rank A。
在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。
扩展资料:
矩阵的秩
定理:矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
定理:初等变换不改变矩阵的秩。
定理:如果A可逆,则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
定理:矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
引理:设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。
当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。
如何求矩阵的秩
通过初等行变换法,将矩阵化成阶梯矩阵,阶梯矩阵非零行(零行就是全是零的行,非零行就是不全为零的行)的个数就是秩。
初等变换的形式:
1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一行;
2、把矩阵的某一行的c倍加到另一行,这里c是P中的任意一个数;
3、互换矩阵中两行的位置。
一般来说,一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵,当矩阵A经过初等行变,换变成矩阵B时可以证明:任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。
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矩阵的秩的性质:
1、设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。
2、矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
3、初等变换不改变矩阵的秩。
4、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
5、当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。
矩阵的秩怎么求,不知道怎么变换形式
矩阵的秩一般有2种方式定义1. 用向量组的秩定义
矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩
2. 用非零子式定义
矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶
单纯计算矩阵的秩时, 可用初等行变换把矩阵化成梯形
梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩
矩阵的秩是什么意思,怎么计算矩阵的秩
如果利用初等行变换将B化为最简行阶梯矩阵,然后再用初等行变换将A变为最简行阶梯矩阵,这两个可以单独进行,此时先不用考虑En。那么矩阵的秩就为非零行的行数,那么至少为A的非零行数加上B的非零行数。为什么说至少呢,是因为如果B有非零行,但此时En经过与B相同的初等行变换可能不为零行。因此B和En的整体的秩就会大于B的秩。综上,结论成立。线性代数中,如何求一个已知矩阵的秩?
引理设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。
定理矩阵的行秩,列秩,秩都相等。
定理初等变换不改变矩阵的秩。
定理矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。
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矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
设A是一组向量,定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1. 在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。
例如,在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A
的秩,记作rA,或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得:
若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
例1. 计算下面矩阵的秩,
而A的所有的三阶子式,或有一行为零;或有两行成比例,因而所
有的三阶子式全为零,所以rA=2。
参考资料: