一元二次方程怎么解
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础,应引起同学们的重视。一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解 法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=m± .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2= 直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 �6�12 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
一元二次方程详细的解法,越相信越好。
答:可以用公式法,方程为ax平方+bx+c=0x=-b加减根号下b平方-4ac/2a
一元二次方程怎么解详细过程
一元二次方程的解法四种:
1.直接开平方法:⑴形如x²=p或者(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法求根;⑵如果方程能化成x²=p的形式,那么可得x=±√p;⑶如果方程能化成(nx+m)²=p(p≥0)的形式,那么nx+m=±√p,进而得出方程的根;⑷注意:等号左边是一个数的平方形式而右边是一个常数;
2.配方法:将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式,再利用直接开平方法求根.用配方法解一元二次方程的步骤 ⑴把原方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0);⑵方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;⑶方程两边同时加上一次项系数一半的平方;⑷把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑸如果右边是非负数,则方程有两个实数根,用直接开平方法求解;如果右边是一个负数,则方程无实数根;
3.因式分解法一般步骤:⑴移项,使方程右边为零;⑵将方程的左边转化为两个一元一次多项式的积;⑶令每个因式分别为零;⑷解两个一元一次方程;
举例:x²-5x+6=0因式分解,得(x-2)(x-3)=0即x-2=0或x-3=0∴x1=2,x2=3;
4.公式法求根公式:求根公式
5.说明:一元二次方程有两个实数根或者没有实数根,绝对不存在一个实数根;如果方程有实数根,配方法和公式法都能解;直接开平方法要求方程必须是左平方右常数形式;因式分解法要求左边必须能分解因式为A•B=0即两个因式相乘为0,因式分解法的理论依据为:“如果两个因式的乘积为零,那么至少有一个因式为零”。
怎么解一元二次方程组
一般解法1.配方法
(可解全部一元二次方程)
如:解方程:x^2+2x-3=0
解:把常数项移项得:x^2+2x=3
等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2+2x+1=4
因式分解得:(x+1)^2=4
解得:x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
2.公式法
(可解全部一元二次方程)
首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根(初中)
2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
来求得方程的根
3.因式分解法
(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
如:解方程:x^2+2x+1=0
解:利用完全平方公式因式分解得:(x+1﹚^2=0
解得:x1=x2=-1
4.直接开平方法
(可解部分一元二次方程)
5.代数法
(可解全部一元二次方程)
ax^2+bx+c=0
同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0
设:x=y-b/2
方程就变成:(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0
再变成:y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0
y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]
如何巧解一元二次方程
解一元二次方程可以用公式法。x=-b加减根号下b的平方-4ac/2a亲,给个采纳吧
这个一元二次方程怎么解 求过程
首先当a不等于0时方程:ax^2+bx+c=0才是一元二次方程。
1、公式法:Δ=b²-4ac,Δ<0时方程无解,Δ≥0时。
x=【-b±根号下(b²-4ac)】÷2a(Δ=0时x只有一个)
2、配方法:可将方程化为[x-(-b/2a)]²=(b²-4ac)/4a²
可解出:x=【-b±根号下(b²-4ac)】÷2a(公式法就是由此得出的)
3、直接开平方法与配方法相似。
4、因式分解法:核心当然是因式分解了看一下这个方程。
(Ax+C)(Bx+D)=0,展开得ABx²+(AD+BC)+CD=0与一元二次方程ax^2+bx+c=0对比得a=AB,b=AD+BC,c=CD。所谓因式分解也只不过是找到A,B,C,D这四个数而已。
扩展资料:
一元二次方程成立必须同时满足三个条件:
①是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程)。
②只含有一个未知数;
③未知数项的最高次数是2。
开平方法:
(1)形如 或 的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程 [5] 。
(2)如果方程化成 的形式,那么可得 。
(3)如果方程能化成 的形式,那么 ,进而得出方程的根。
(4)注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
参考资料来源:
一元二次方程有哪些解法?解法怎么用?
形如ax²+bx+c=0的方程一般有因式分解法、平方法、公式法等方法求解。具体参见教程。此处仅介绍公式法,即X=[-b±√(b²-4ac)]/2a。一元二次方程如何解
方法1:配方法(可解全部一元二次方程)
如:解方程:x^2-4x+3=0 把常数项移项得:x^2-4x=-3 等式两边同时加1(构成完全平方式)得:x^2-4x+4=1 因式分解得:(x-2)^2=1 解得:x1=3,x2=1
小口诀: 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当
方法2:公式法(可解全部一元二次方程)
首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b^2-4ac0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后,若方程有根可根属于第2、3两种情况方程有根则可根据公式:x={-b±√(b^2-4ac)}/2a 来求得方程的根
3.因式分解法(可解部分一元二次方程)
(因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”. 如:解方程:x^2+2x+1=0 利用完全平方公式因式分解得:(x+1﹚^2=0 解得:x1=x2=-1
4.直接开平方法
5.代数法。(可解全部一元二次方程) ax^2+bx+c=0 同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0
设:x=y-b/2 方程就变成:(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错,应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0
再变成:y^2+(b^22*3)/4+c=0 X/y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X/y=±√[(b^2)/4+c]
如何解一元二次方程、解析式
1.一元二次方程的定义一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为
(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
我们把
(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式,特别注意二次项系数一定不为0,b、c可以为任意实数,包括可以为0,即一元二次方程可以没有一次项,常数项.
(a≠0),
(a≠0),
(a≠0)都为一元二次方程.
3.一元二次方程的解法
一元二次方程的解法有四种:(1)直接开平方法;(2)因式分解法;(3)配方法;(4)公式法.要根据方程的特点灵活选择方法,其中公式法是通法,可以解任何一个一元二次方程.
4.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为
.
△>0
方程有两个不相等的实数根.
△=0
方程有两个相等的实数根.
△<0
方程没有实数根.
上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.
5.一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程
(a≠0)的两个根是
,那么
.
6.解应用题的步骤
(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
(3)找出相等关系,并用它列出方程;
(4)解方程求出题中未知数的值;
(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答.
【解题思想】
1.转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法.
运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题.在本章中,将解一元二次方程转化为求平方根问题,将二次方程利用因式分解转化为一次方程等.
2.从特殊到一般的思想
从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律,通过对特殊现象的研究得出一般结论,如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法,再如探索一元二次方程根与系数的关系等.
3.分类讨论的思想
一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想.
【经典例题精讲】
1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
3.一元二次方程
(a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.
4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.